Distribución binomial.
La distribución
binomial se caracteriza por su función de probabilidad, viene la expresión
siguiente:
B (x;n.p)=
(x)p(1-p)n-x
DONDE:
X= número de éxitos
(x=0, 1, 2,3…., n)
P= probabilidad de
éxito
1-p= probabilidad de
fracaso
N= tamaño de la
muestra o número de ensayos
-CONDICIONES PARA UNA
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Una distribución
binomial cuando se cumplen las condiciones siguientes:
. El experimento
aleatorio de base se repite “n” veces, todos los resultados obtenidos son
mutuamente independientes.
.En cada cueva se
tiene una misma probabilidad de éxito, expresado “p”, así mismo, existen en
cada prueba una misma probabilidad del fracaso, que es igual a “1-p”.
. El objetivo de la
distribución binomial es conocer la probabilidad que se produzca un cierto
número de éxitos.
. La variable
aleatoria “x” que indica el número de veces que aparece un suceso denominado
“A” (éxito), es discreta, y su recorrido es el conjunto {1,2,3,….n}
Los ejercicios los
resolveremos con tablas de estadísticas y posteriormente con la hoja de cálculo
Excel Microsoft office.
Tabla 1:
Probabilidades de distribución binomial (n; p)
N
|
x
|
P=0,1
|
P= 0,2
|
P=0,3
|
P=0,4
|
P=0,5
|
2
|
0
|
0.8100
|
0.6400
|
0.4900
|
0.3600
|
0.2500
|
|
1
|
0.1800
|
0.3200
|
0.4200
|
0.4800
|
0.5000
|
|
2
|
0.0100
|
0.0400
|
0.0900
|
0.1600
|
0.2500
|
3
|
0
|
0.7290
|
0.5120
|
0.3430
|
0.2160
|
0.1250
|
|
1
|
0.2430
|
0.3840
|
0.4410
|
0.4320
|
0.3750
|
|
2
|
0.0270
|
0.0960
|
0.1890
|
0.2880
|
0.3750
|
|
3
|
0.0010.
|
0.0080
|
0.0270
|
0.0640
|
0.1250
|
.
Puede apreciarse en
la primera columna aparece el título “n” en la segunda columna los valores de
“x” por cada “n” y luego las columnas correspondientes a las probabilidades de
“p”
EJERCICIO 1
. Por ejemplo si
estamos interesados en encontrar la probabilidad binomial de “n” igual a 3n=3
ensayos de los cuales “x” es igual a 2x=2 son éxitos con una probabilidad de
acierto de “p” igual a 0.40 p=0.40
FORMULA
= DISTRI.BINOMA.N
(num_exito, ensayos, prob_exito, acumulado)
. Se ubica en una
celda vacía y se escribe
= DISTRI.BINOMA.N
. Es software te
mostrara las distribuciones existentes mientras usted está escribiendo, puede
ver que entre paréntesis aparecen cuatro parámetros:
. núm. - éxitos:
Aquí puede escribir el
número de éxitos que deseen obtener.
Ensayos:
Es el tamaño de la
muestra “n”
Prob -éxito:
Probabilidad “p” de éxito
Acumulado:
Verdadero o falso (si
escribe verdadero: la distribución calcula la distribución binomial acumulada
desde “x” hasta 0; si escribe falso: la distribución binomial solo calcula el
valor puntual de “x”)
EJERCICIO 2
.Por ejemplo si
estamos interesados en encontrar la probabilidad binomial de “n”= 3, ensayos de
los cuales “x”=2, son éxitos con una probabilidad de acierto de “p”= 0.40
= DISTRI.BINOMA.N (2,
3,0.40, FALSO)=0.2880
Puede ver que es el
mismo resultado que obtuvimos con las tablas no obstante en algunos casos habrá
pequeñas diferencias dada que las tablas contienen solo valores de probabilidad
de cuadro decimales (es decir, diez milésimas) y en Excel puede pedirle que le
muestre los decimales que quiera.
EJERCICIO E1:
Sea x= núm. de preguntas
contestadas correctamente en el test (examen) de un total de 10 preguntas,
calcular las probabilidades de contestar:
a)
5
preguntas correctamente
b)
1 o más
preguntas correctamente
c)
5 o más
preguntas correctamente
d)
Entre 3 y
6 preguntas correctamente
SOLUCIÓN
N= 10
P= “p” (éxito)= p (pregunta contestada correctamente)= 0.5
“p” permanece
constante
Asumiendo independientemente
entre las contestaciones de las preguntas, obtendremos que x ∞ b (10, 0.5)
ENTONCES:
a)
(x=5)= b
(x=5, n=10,p=0.5)
b)
(x ≥1)=1-p(x<1)=
1-p(x=0)=1-b(x=0,n=10,p=0.5)
c)
P=(x≥5)=1-p(x<5)=1-p(x≤4)=1-b (x≤4,n=10,p=0.5)
d)
P=(3≤x≤6)=b(x≤6;n=10,p=0.5)-b(x≤2,n=10,p=0.5)
SOLUCION USANDO EXCEL
A)
= DISTRI.BINOMA.N
(5,10,0.50, FALSO)=0.2461
B)
1- DISTRI.BINOMA.N (5,10,0.50, FALSO)=1-0.0010=0.9990
C)
1- DISTRI.BINOMA.N
(4,10,0.50, VERDADERO)=1-0.3770=0.6230
D)
DISTRI.BINOMA.N
(6,10,0.50, VERDADERO)-
DISTRI.BINOMA.N (2,10,0.50,VERDADERO)=0.82281-0.0547=0.7734
EJERCICIO 3
Un ingeniero que
labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica,
inspecciona una muestra al azar e los alternadores de un lote. Si el 20% de los
alternadores de lote están defectuosos cual es la probabilidad de que la
muestra:
a)
Ninguno este
defectuoso
b)
Uno salga
defectuoso
c)
Más de
tres estén con defectos
d)
No más de
tres estén con defectos
SOLUCION USANDO TABLAS
BINOMIALES
A)
p(x=0)=b(x=0;n=10;p=0.2)=0.01074
B)
p(x=1)=b(x=0;n=10;p=0.2)=0.2684
C)
p(x=2)=1-p(x≤1)=1-b(x≤1;n=10;p=0.2)=0.6242
D)
p(x=3)=1-p(x≤2)=1-b(x≤2;n=10;p=0.2)=0.3222
A)
p(x=3)=b(x≤3);n=10;p=0.2)=0.8797
SOLUCION USANDO EXCEL
A)
=
DISTRI.BINOMA.N (0,10,0.2, FALSO)=0.1734=17%
B)
=
DISTRI.BINOMA.N (1,10,0.2, FALSO)=0.2684=26%
C)
1. =
DISTRI.BINOMA.N (1,10,0.2, FALSO)=0.0242=62%
D)
1. =
DISTRI.BINOMA.N (2,10,0.2,VERDADERO)=0.3222=32%
E)
=
DISTRI.BINOMA.N (3,10,0.2, VERDADERO)=0.8791=87%
La probabilidad de que
un cd dure al menos un año es de 0.90 calcular la probabilidad de que una
muestra de 15
a)
12 duren
al menos 1 año
b)
A lo más 5
duren al menos 1 año
c)
Al menos 2
duren 1 año
SOLUCIÓN USANDO TABLAS
BINOMIALES
A)
B(3;N=15;0.10)-B(2;N=15;P=0.10)=
b (x=3;n=15;0.10)
B)
1-b(9;n=15;0.10)=1-(0.2059+0.3432+0.1285+0.0428+0.0105+0.0019+0.0003+0.0+0.0)=1-1=0
C)
B(15-2-1+15,0.10)=
B(12,15,0.10)1
SOLUCIÓN USANDO EXCEL
a)
X=12,n=15,p=0.9)
DISTRI.BINOMA.N (12,15,0.90, FALSO)=0.1285
b)
B(x≤5,n=15,p=0.90) DISTRI.BINOMA.N
(12,15,0.90, VERDADERO)=0.0000002
c)
1-B (x≤1,n=15,p=0.90)=1-
DISTRI.BINOMA.N (1,15,0.90,VERDADERO)=1-0.000=1
Si 15 de 50 proyectos
de vivienda
¿Cuál es la
probabilidad de que un inspector de vivienda que selecciona aleatoriamente a 4
de ellas?, descubra que:
a)
Ninguna de
las casas viola el código de construcción
b)
Una viola
el código de construcción
c)
Dos violan
el código de construcción
d)
Al menos
tres violan el código de construcción
a)
P=(x=0)=b(x=0,n=4,p=0.3)=
0.2401
b)
P=(x=1)=b(x=1,n=4,p=0.3)=
0.4116
c)
P=(x=2)=b(x=2,n=4,p=0.3)=
0.2646
d)
P=(x=0)=1-p
(x≤2)=1-b(x≤2,n=4,p=15)= 0.0837
SOLUCIÓN USANDO EXCEL
a)
=
DISTRI.BINOMA.N (0,4,0.3,FALSO)= 0.2401
b)
=
DISTRI.BINOMA.N (1,4,0.3,FALSO)= 0.4116
c)
=
DISTRI.BINOMA.N (2,4,0.3,FALSO)= 0.2646
d)
= DISTRI.BINOMA.N
(2,4,0.3,VERDADERO)= 0.0837
