Distribución binomial.

La distribución binomial se caracteriza por su función de probabilidad, viene la expresión siguiente:

B (x;n.p)= (x)p(1-p)n-x

DONDE:

X= número de éxitos (x=0, 1, 2,3…., n)

P= probabilidad de éxito

1-p= probabilidad de fracaso

N= tamaño de la muestra o número de ensayos

-CONDICIONES PARA UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Una distribución binomial cuando se cumplen las condiciones siguientes:

. El experimento aleatorio de base se repite “n” veces, todos los resultados obtenidos son mutuamente independientes.

.En cada cueva se tiene una misma probabilidad de éxito, expresado “p”, así mismo, existen en cada prueba una misma probabilidad del fracaso, que es igual a “1-p”.

. El objetivo de la distribución binomial es conocer la probabilidad que se produzca un cierto número de éxitos.

. La variable aleatoria “x” que indica el número de veces que aparece un suceso denominado “A” (éxito), es discreta, y su recorrido es el conjunto {1,2,3,….n}

Los ejercicios los resolveremos con tablas de estadísticas y posteriormente con la hoja de cálculo Excel Microsoft office.

Tabla 1: Probabilidades de distribución binomial (n; p)

N	x	P=0,1	P= 0,2	P=0,3	P=0,4	P=0,5
2	0	0.8100	0.6400	0.4900	0.3600	0.2500
	1	0.1800	0.3200	0.4200	0.4800	0.5000
	2	0.0100	0.0400	0.0900	0.1600	0.2500
3	0	0.7290	0.5120	0.3430	0.2160	0.1250
	1	0.2430	0.3840	0.4410	0.4320	0.3750
	2	0.0270	0.0960	0.1890	0.2880	0.3750
	3	0.0010.	0.0080	0.0270	0.0640	0.1250

.

 Puede apreciarse en la primera columna aparece el título “n” en la segunda columna los valores de “x” por cada “n” y luego las columnas correspondientes a las probabilidades de “p”

EJERCICIO 1

. Por ejemplo si estamos interesados en encontrar la probabilidad binomial de “n” igual a 3n=3 ensayos de los cuales “x” es igual a 2x=2 son éxitos con una probabilidad de acierto de “p” igual a 0.40  p=0.40

FORMULA

= DISTRI.BINOMA.N (num_exito, ensayos, prob_exito, acumulado)

. Se ubica en una celda vacía y se escribe

= DISTRI.BINOMA.N

. Es software te mostrara las distribuciones existentes mientras usted está escribiendo, puede ver que entre paréntesis aparecen cuatro parámetros:

. núm. - éxitos:

Aquí puede escribir el número de éxitos que deseen obtener.

Ensayos:

Es el tamaño de la muestra “n”

Prob -éxito:

Probabilidad “p” de éxito

Acumulado:

Verdadero o falso (si escribe verdadero: la distribución calcula la distribución binomial acumulada desde “x” hasta 0; si escribe falso: la distribución binomial solo calcula el valor puntual de “x”)

EJERCICIO 2

.Por ejemplo si estamos interesados en encontrar la probabilidad binomial de “n”= 3, ensayos de los cuales “x”=2, son éxitos con una probabilidad de acierto de “p”= 0.40

= DISTRI.BINOMA.N (2, 3,0.40, FALSO)=0.2880

Puede ver que es el mismo resultado que obtuvimos con las tablas no obstante en algunos casos habrá pequeñas diferencias dada que las tablas contienen solo valores de probabilidad de cuadro decimales (es decir, diez milésimas) y en Excel puede pedirle que le muestre los decimales que quiera.

EJERCICIO E1:

Sea x= núm. de preguntas contestadas correctamente en el test (examen) de un total de 10 preguntas, calcular las probabilidades de contestar:

a)      5 preguntas correctamente

b)      1 o más preguntas correctamente

c)       5 o más preguntas correctamente

d)      Entre 3 y 6 preguntas correctamente

SOLUCIÓN

N= 10

P= “p” (éxito)= p (pregunta contestada correctamente)= 0.5

“p” permanece constante

Asumiendo independientemente entre las contestaciones de las preguntas, obtendremos que x ∞ b (10, 0.5)

ENTONCES:

a)      (x=5)= b (x=5, n=10,p=0.5)

b)      (x ≥1)=1-p(x<1)= 1-p(x=0)=1-b(x=0,n=10,p=0.5)

c)       P=(x≥5)=1-p(x<5)=1-p(x≤4)=1-b (x≤4,n=10,p=0.5)

d)      P=(3≤x≤6)=b(x≤6;n=10,p=0.5)-b(x≤2,n=10,p=0.5)

SOLUCION USANDO EXCEL

A)     = DISTRI.BINOMA.N (5,10,0.50, FALSO)=0.2461

B)      1- DISTRI.BINOMA.N (5,10,0.50, FALSO)=1-0.0010=0.9990

C)      1- DISTRI.BINOMA.N (4,10,0.50, VERDADERO)=1-0.3770=0.6230

D)     DISTRI.BINOMA.N (6,10,0.50, VERDADERO)-

DISTRI.BINOMA.N (2,10,0.50,VERDADERO)=0.82281-0.0547=0.7734

EJERCICIO 3

Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar e los alternadores de un lote. Si el 20% de los alternadores de lote están defectuosos cual es la probabilidad de que la muestra:

a)      Ninguno este defectuoso

b)      Uno salga defectuoso

c)       Más de tres estén con defectos

d)      No más de tres estén con defectos

SOLUCION USANDO TABLAS BINOMIALES

A)     p(x=0)=b(x=0;n=10;p=0.2)=0.01074

B)      p(x=1)=b(x=0;n=10;p=0.2)=0.2684

C)      p(x=2)=1-p(x≤1)=1-b(x≤1;n=10;p=0.2)=0.6242

D)     p(x=3)=1-p(x≤2)=1-b(x≤2;n=10;p=0.2)=0.3222

A)      p(x=3)=b(x≤3);n=10;p=0.2)=0.8797

SOLUCION USANDO EXCEL

A)     = DISTRI.BINOMA.N (0,10,0.2, FALSO)=0.1734=17%

B)      = DISTRI.BINOMA.N (1,10,0.2, FALSO)=0.2684=26%

C)      1. = DISTRI.BINOMA.N (1,10,0.2, FALSO)=0.0242=62%

D)     1. = DISTRI.BINOMA.N (2,10,0.2,VERDADERO)=0.3222=32%

E)      = DISTRI.BINOMA.N (3,10,0.2, VERDADERO)=0.8791=87%

La probabilidad de que un cd dure al menos un año es de 0.90 calcular la probabilidad de que una muestra de 15

a)      12 duren al menos 1 año

b)      A lo más 5 duren al menos 1 año

c)       Al menos 2 duren 1 año

SOLUCIÓN USANDO TABLAS BINOMIALES

A)     B(3;N=15;0.10)-B(2;N=15;P=0.10)= b (x=3;n=15;0.10)

B)      1-b(9;n=15;0.10)=1-(0.2059+0.3432+0.1285+0.0428+0.0105+0.0019+0.0003+0.0+0.0)=1-1=0

C)      B(15-2-1+15,0.10)= B(12,15,0.10)1

SOLUCIÓN USANDO EXCEL

a)      X=12,n=15,p=0.9) DISTRI.BINOMA.N (12,15,0.90, FALSO)=0.1285

b)      B(x≤5,n=15,p=0.90) DISTRI.BINOMA.N (12,15,0.90, VERDADERO)=0.0000002

c)       1-B (x≤1,n=15,p=0.90)=1- DISTRI.BINOMA.N (1,15,0.90,VERDADERO)=1-0.000=1

Si 15 de 50 proyectos de vivienda

¿Cuál es la probabilidad de que un inspector de vivienda que selecciona aleatoriamente a 4 de ellas?, descubra que:

a)      Ninguna de las casas viola el código de construcción

b)      Una viola el código de construcción

c)       Dos violan el código de construcción

d)      Al menos tres violan el código de construcción

 a)      P=(x=0)=b(x=0,n=4,p=0.3)= 0.2401

b)      P=(x=1)=b(x=1,n=4,p=0.3)= 0.4116

c)       P=(x=2)=b(x=2,n=4,p=0.3)= 0.2646

d)      P=(x=0)=1-p (x≤2)=1-b(x≤2,n=4,p=15)= 0.0837

SOLUCIÓN USANDO EXCEL

a)      = DISTRI.BINOMA.N (0,4,0.3,FALSO)= 0.2401

b)      = DISTRI.BINOMA.N (1,4,0.3,FALSO)= 0.4116

c)       = DISTRI.BINOMA.N (2,4,0.3,FALSO)= 0.2646

d)      = DISTRI.BINOMA.N (2,4,0.3,VERDADERO)= 0.0837